Kako da znamo da li je kvantno-mehanički formalizam ispravan? Kako da budemo sigurni da kad pišemo raznorazne zagrade i tenzorske proizvode u Hilbertovom prostoru ili crtamo Fajmanove dijagrame oni zapravo oslikava realnost? Da li je mačka u kutiji živa ili mrtva? Da li sam ja skup čestica ili zapravo talas? Sve su to legitimna pitanja a odgovor na njih dobijamo kroz eksperiment.
U ovom tekstu mi ćemo se baviti idejama iz čuvenog eksperimenta John Bell-a. Pokušaćemo da izložimo teorijski baziz za razumevanje rezultata Bell-ovog eksperimenta. Ono što će biti predstavljeno u ovom tekstu može se podvesti pod Gedankenexperiment uz malo statistike i osnova kvantne mehanike.
Videćemo, zapravo uz pomoć tog jednostavnog misaonog eksperimenta, šta je kriterijum koji diskriminiše između klasične i kvantne realnosti. Koliko je taj kriterijum pouzdan, i da se taj misaoni eksperiment ne odvija samo u metafizičkoj areni nego da on ima svoju praktičnu eksperimentalnu iteraciju.
Jedan od razloga za pisanje ovog kratkog teksta takođe je vest da u našoj naučno-istraživačkoj stanici Petnici po prvi put cemo imati Bell-ovu ekperimentalnu postavku pomoću koje se potvrđuju formalizam kvantne mehanike (Ref. 1).
 |
| Illustration by Hannes Hummel for Quanta Magazine. |
Entaglement ili zapletenost
Kada govorimo o objektima kao sto su šolja ili spajalica, mi pretpostavljamo da oni i njihove fizičke osobine postoje nezavisno od našeg opazanja, tj. mi merenjem zapravo kvalifikujemo i kvantifikujemo njihove fizičke osobine kao sto su boja, veličina ili čvrstina. Npr. teniska loptica kao jednu takvu osobinu ima položaj (relativni polozaj) koji mi zapravo određujemo tako što sa svetlošču obasjamo površinu te loptice a zatim se ta svetlost raseje i pada na nasu mrežnjaču i dobijamo osecaj prisustva loptice u našoj relativnoj okolini.
Prema formalizmu kvantne mehanike (prema uobicajnoj kopenhagenskoj interpretaciji), ne izmerena čestica ne poseduje fizižke osobine koje postoje nezavisno od merenja. Zapravo procedurom merenja utičemo na stanje same čestice ili sistema. Ovo se itekako kosi sa nasim neposrednim opažanjima. Ako ja sad uzmem lenjir i izmerim visinu šolje za kafu na mom radnom stolu dobicu vrednost od 10 cm. Ponovim li ovo merenje ja ću opet dobiti istu ili pribliznu vrednost sa greškom u domenu preciznosti mog instrumenta tj. lenjira. Da za moju šolju vaze pravila kvantne mehanike (recimo da je umanjimo do veličine gde su kvantni efekti relevantni) ja bih merenjem dobijao uvek drasticno različite vrednosti za visinu. To je ono sto je kontra-intuitivno u celoj priči!
Formalizam kvantne mehanike zapravo daje niz matematickih pravila koja kažu da ukoliko smo u mogućnosti da definišemo vektor (funkciju) stanja neke čestice ili sistema čestica mi mozemo izračunati verovatnoće da čestica ima određenu vrednost fizicke osobine ili observable. U sustini determinizam je odbačen, a u igru ubačena verovatnoća kao postulat.
Mnogi fizičari su odbacivali ovakav pogled na svet. Jedan od njih bio je Albert Ajnštajn, koji je zajedno sa Rozenom i Podolskim (EPR) predložili 1935 Gedanken eksperiment koji je trebao da demonstrira da je KM nekompletna teorija (Ref. 2). Suština argumenta ovih naučnika bazirala se na sledećem pitanju: šta je dovoljan uslov da fizička osobina bude element realnosti? Tj. da je moguće sa sigurnoscu predvideti ili sračunati vrednosti fizickih velicina koje neka čestici ili sistem ima i pre nego sto obavimo merenje (Ref. 3).
To uopšte i ne zvuči kao neverovatan uslov. Sve sto nam naše (klasično) iskustvo govori jeste da npr. ako imamo telo koje pada kroz atmosferu sa prilično jednostavnim jednačinama i nekolicinom početnih uslova mi uvek možemo znati gde i na kojoj visini (poziciji) će se u narednim trenucima nalaziti.
Zapravo fizika XX veka pokazala gde taj uslov i nije zadovoljavajući. Markoskopski zbog postojanja haosa i nelinearnih fenomena, a duboko na skali atoma i molekula zbog kvantnih efekata.
Da se ipak vratimo na EPR clanak. Oni su posmatrali jednu posledicu formalizma kvantne mehanike, a to je postojanje entaglovanih parova čestica. Čudna osobina takvih parova jeste da ukoliko ih pripremimo lokalno (recimo kod babe u loncu, ali zapravo zamislite mnogo manji lonac - tamo gde su kvantnih efekti relevantni) a zatim ih razdvojimo i jednu od čestica pošaljemo na drugi kraj univerzuma a drugu zadržimo kod nas u kuhinji. Mereći fizičke osobine(npr. projekciju spina) jedne čestice mi odmah znamo koju vrednost spina ima druga. Što znači da ako izmerimo česticu A i vidimo da ima pozitivno orijentisan spin tj. +1, to znači da možemo biti sigurni da cemo izmeriti vrenosti -1 čestice B. Ili ako izmerimo +1 u A, B ce sigurno imati -1 ( Slika 1).
Slika1. Entanglovani par čestica
Upravo ovo se kosi sa glavni postulatima kvantne mehanike koji kažu da se sve izražava sa verovatnoćama a ne kroz sigurnosti na šta ukazuje slucaj entagleovanih parova. Ajnstajn et al. (Ref. 1) su smatrali stoga da je ovo očigledno primer nekompletnosti trenutne kopenhagenske interpretacije (formalizma) kvantne mehanike i stoga prepostavili da postoji neka promenljiva koja teoriji nedostaje. Promenljiva koju mi trenutno ne vidimo i ne razumemo i koja je skrivena od nas. Odatle ime za alternativne teorije: teorije o skrivenim varijablama.
Onaj koji je razrešio ovaj očigledan paradoks bio je Bell (Ref. 4,5). Prvo sa misaonim eksperimentom (1964 god.) zatim i praktično Fridman i Klauser (1972) kao i Alain Aspekt sa svojim timom iz Pariza koju godinu kasnije (1981). Ovde ćemo u kratkim crtama i jednostavnim jezikom pokazati šta su to Bell-ove nejednakosti i kako su nam one (ima ih više) dale odgovor da je formalizam kvantne mehanike za sad zapravo odgovarajući.
Zamislite da imamo sledeću eksperimentalnu postavku kao na Slici 2. Cveta pripremi entanglovane parove ( za eksperimentalnu proceduru
pogledati Ref. 6) u svojoj kuhinji i loncu. Trenutno nam nije važno kako
to ona čini i koje začine koristi, ali ono što jeste važno jeste da je u
mogućnosti da tu proceduru ponovi mnogo puta i to na potpuno isti način
(da ne doda jednom više, a jednom manje soli).
Slika 2. Postavka Bell-ovog eksperimenta
Klasično (intuitivno) razmatranje
Pošto je završila pripremu, šalje ih Ani i Bobanu. Kada Ana primi njenu česticu, ona izvrši merenja nad njoj. Zamislite da ima dva različita instrumenta (kako Ana tako i Boban), tako da može da bira izmenju njih i na taj način bira koje observable želi da izmeri (kvantno-mehanički to zapravo čini operatorima \( X,Y,Z\) i njivom kombinacijama). Ta merenja su recimo fizičke osobine \( P_{Q}\) i \(P_{R}\). Ana ne zna kojim redom želi da obavlja ova merenja. Ona zapravo baca novčić (ili nešto drugo što ce pružiti uniformnu distribuciju) tj. koristi random metodu da bi odredila koji instrument će koristiti, ali zbog pojednostavljenja recimo da merenja mogu imati samo dva ishoda i to \( \left\lbrace +1, -1 \right\rbrace \). Pretpostavimo da Anina čestica ima vrednost \( Q \) za osobinu \( P_{Q} \). \(Q\) je zapravo objektivna realnost Anine cestice kada obavi merenje kao što je to položaj teniske loptice u nekom trenutku putanje te loptice. Takođe sa \( R\) obeležavamo vrednost za osobinu \( P_{R} \). Takođe pretpostavimo da Boban meri dve osobine te jedne čestice koju je dobio \( P_{S} \) i \( P_{T} \). Takođe otkrivajući vredosti \( S \) i \( T\) koje mogu biti \( \left\lbrace +1, -1 \right\rbrace\). On takođe sprovodi proceduru merenja kao i Ana. Moramo naglasiti da oni obavljaju merenje istovremeno (ne kauzalno) tako da procedura merenje koje obavi Ana ne utiče na Bobanova merenja.
Sada ćemo pretpostaviti da možemo da napišemo jednačinu sledećeg oblika:
\begin{equation}
J = Q S + R S + R T - Q T \tag{1}
\end{equation}
gde \( Q, R, S, T \) mogu uzeti vrednosti samo iz seta \( \left\lbrace +1, -1 \right\rbrace \). Ono što možemo primetiti jeste da \( J \) uzima samo vrednosti \( J = \pm 2 \), i to vidimo ako raspišemo:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Kombinacija & Q & R & S & T & J \\
\hline
1 & + & + & + & + & 2 \\
2 & + & + & + & - & 2 \\ 3 & + & + & - & + & -2 \\ 4 & + & - & + & + & -2 \\ 5 & - & + & + & + & 2 \\ 6 & + & + & - & - & -2 \\ 7 & + & - & - & + & -2 \\ 8 & - & - & + & + & -2 \\ 9 & - & + & - & +& 2 \\ 10 & - & + & + & - & -2 \\ 11 & + & - & + & - & 2 \\ 12 & + & - & - & - & 2 \\ 13 & - & - & - & + & 2 \\ 14 & - & - & + & - & -2 \\ 15 & - & + & - & - & -2 \\ 16 & - & - & - & - & 2 \\ \hline \end{array}
Tabela 1. Kombinacije vrednosti parametara u Jedn. (1)
Gde smo sa \( +\) označili vrednost \( \lbrace +1 \rbrace \) a \(-\) označili \( \lbrace -1 \rbrace \). Prilično je očigledno da je broj mogućih kombinacija \( 2^{k}\) kada je \( k = 4\) što daje \( 2^{4} = 16\). Zatim pretpostavimo da je \( p(Q,R,S,T)\) verovatnoća da kada izvršimo merenja smo dobili kombinaciju sa \( Q,R,S,T \). Ova verovatnoća zavisi od toga kako je Cveta pripremila čestice i sa koliko luka.
Označimo sa \( \mathbb{E}[\cdot ] \) srednju vrednost neke veličine. Nas zanima srednja vrednost veličine prethodno defisano \( J \) u jednačini (1) i to možemo napisati na sledeći način:
\begin{align}
\mathbb{E}\big[ QS + RS + RT - QT \big] &= \sum_{ q r s t } p (q,r,s,t) (qs + rs + rt - qt ) \nonumber \\ &\leq \sum_{q r s t } p ( q,r,s,t) \cdot 2 \tag{2}
\end{align}
Ako uzmemo da je verovatnoća normirana sa: \( \sum_{i} p_{i} = 1 \) imamo:
\begin{align}
\mathbb{E}\big[ QS + RS + RT - QT \big] &\leq 2 \tag{3}\end{align}
Ovaj rezultat i nije toliko začuđujući pošto je to gornji limit na moguću usrednjenu vrednost \( J \). Laićki gledano prethodnu tablu srednja vrednosti bi trebala da bude \( 0\) pod uslovom da su verovatnoće za svaku kombinacije jednake.
Ono što dalje možemo uraditi jeste raspisati:
\begin{align}
\mathbb{E}\big[ QS + RS + RT - QT \big] &= \sum_{ q r s t } p (q,r,s,t) qs + \sum_{ q r s t } p (q,r,s,t) rs \nonumber \\ &+ \sum_{ q r s t } p (q,r,s,t) rt - \sum_{ q r s t } p (q,r,s,t) qt \nonumber \\ &= \mathbb{E}[QS] + \mathbb{E}[RS] + \mathbb{E}[RT] - \mathbb{E}[QT]
\tag{4} \end{align}
Upoređujući jednačine (3) i (4) dobijamo Bell-ovu nejednakost:
\begin{equation}
\mathbb{E}[QS] + \mathbb{E}[RS] + \mathbb{E}[RT] - \mathbb{E}[QT] \leq 2
\end{equation}
Ponavljajući ovaj eksperiment kuvanja i merenja dosta puta i posle toga usrednjavanjem i sjedinjavanja rezultata Ane i Bobana mozemo da proverimo da je ova nejednakost ispoštovana. Koliko smo dobro procenili \( \mathbb{E}[QS] \) i ostale srednje vrednosti zavisi samo od toga koliko smo puta ponovili merenje. što ih vise obavimo, naši rezultati ce biti pouzdaniji, ali u čak i limitu ova nejednakost je održana. Možemo se uveriti sa malo numerike, koristeci sledeći Mathematica kod:
(* Simulacija Bell-ovog klasicnog razmatranja*)
Do[
{
Nb = 100000; (* Broj ponavljanja eksperimenta*)
sum1 = 0;
sum2 = 0;
sum3 = 0;
sum4 = 0;
Do[
{
(* generisanje vrednosti za Q *)
If[RandomReal[] <= 0.5, q = -1, q = +1];
(* generisanje vrednosti za R *)
If[RandomReal[] <= 0.5, r = -1, r = +1];
(* generisanje vrednosti za S *)
If[RandomReal[] <= 0.5, s = -1, s = +1];
(* generisanje vrednosti za T *)
If[RandomReal[] <= 0.5, t = -1, t = +1];
sum1 = sum1 + q*s;
sum2 = sum2 + r*s;
sum3 = sum3 + r*t;
sum2 = sum4 + q*t;
}, {i, 1, Nb}];
jedan = sum1/Nb ; (* E(QS)*)
dva = sum2/Nb ;(* E(RS)*)
tri = sum3/Nb ;(* E(RT)*)
cetiri = sum4/Nb ;(* E(QT)*)
kraj = jedan + dva + tri - cetiri; (* leva strana nejednakosti*)
Print[kraj // N];
}
, {i,1,100}]
Primer izlaza ovakve numeričke simulacije: \( \lbrace -0.00461,-0.00563, ... \rbrace \). Svaka vrednost je manja od 2 i povrđuje zadatu nejednakost. Granični slučaj za koju važi jednakost jeste veoma redak rezultat ali je moguć. Njega mozemo indukovati ako postavimo deterministički uslov da \( \lbrace Q=1,R=1,S=1,T=1 \rbrace \) ili \( \lbrace Q=-1,R=-1,S=-1,T=-1 \rbrace \) što baš i nije u skladu sa načinom kako smo probabilistički postavili eksperiment. Za bolje razumevanje pokušaj da promeniš Mathematica kod da izlaz bude u skladu sa Bell-ovom jednakosću. Ali šta je sa kvantnom mehanikom?!
Kvantno-mehaničko razmatranje
Hajde da vidimo šta se dešava ako posmatramo ovaj sistem kvantno-mehanički sa pravim entaglovanim parom čestica. Cveta priprema dve čestice u stanju koje zapisujemo kao:
\begin{equation}
\vert \Psi \rangle = \dfrac{\vert 0 1 \rangle - \vert 1 0 \rangle}{\sqrt{2}}
\end{equation}
Važno je napomenuti da smo u kompjutabilnom bazisu gde su osnovna stanja čestica data sa: \( \vert 0\rangle = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\) i \( \vert 1\rangle = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\), gde je je \( \vert 1 \rangle \otimes \vert 0 \rangle = \vert 1 0 \rangle \) i \( \vert 0 \rangle \otimes \vert 1 \rangle = \vert 0 1 \rangle \). Cveta pošto pripremi čestice pošalje prvu Ani, a drugu Bobanu kao što je i do sad radila. Oni obavljaju merenje sledećih observabli:
\begin{align}
Q &= Z_{1}, \\ R &= X_{1}, \\ S &= \dfrac{-Z_{2} - X_{2}},{\sqrt{2}} \\ T &= \dfrac{Z_{2} - X_{2}}{\sqrt{2}},
\end{align}
gde su \( X,Y,Z \) Paulijeve matrice koje imaju osobine ermitovosti i unitarnosti. Delovanjem sa ovim matricama (ili kombinacijom) na ket vektor stanja izmeniće naš vektor stanja. Indeksi \( 1,2 \) ukazuju na koju česticu zapravo delujemo. Ukoliko delujemo s leva na taj izmenjeni vektor stanja sa bra vektorom početnog stanja dobićemo kvantnom-mehaničku srednju vrednost. Definicija kvantno-mehanicke srednje vrednosti matematički preciznije glasi:
\begin{equation}
\langle A \rangle_{\Psi} = \langle \Psi \vert A \vert \Psi \rangle
\end{equation}
Stoga ono što je potrebno uraditi jeste izračunati srednje vrednosti observabli \( QS,RS,RT,QT \) koristeći prethodnu definiciju. Daćemo primer računice jedne od observabli i to \( QS \) koristeći vektor stanja
\begin{align}
\langle QS \rangle_{\Psi} &= \langle \Psi \vert QS \vert \Psi \rangle \\ &= - \dfrac{1}{\sqrt{2}} \langle \Psi \vert Z_{1} (Z_{2} + X_{2}) \vert \Psi \rangle \\ &= - \dfrac{1}{\sqrt{2}} \big( \langle \Psi \vert Z_{1} Z_{2} \vert \Psi \rangle + \langle \Psi \vert Z_{1} X_{2} \vert \Psi \rangle\big)
\end{align}
Prvi član se računa na sledeći način:
\begin{align*}
\langle \Psi \vert Z_{1} Z_{2} \vert \Psi \rangle = \Big( \dfrac{\langle 0 1 \vert - \langle 1 0 \vert}{\sqrt{2}} \Big) Z_{1} Z_{2} \Big( \dfrac{\vert 0 1 \rangle - \vert 1 0 \rangle}{\sqrt{2}}\Big)
\end{align*}
Znamo da delujući \( Z \) operatorom na bazisne vektore imamo: \( Z \vert 1 \rangle = - \vert 1 \rangle\) i \( Z \vert 0 \rangle = \vert 0 \rangle \), dok dejstvo \( X\) operator daje: \( X \vert 0 \rangle = \vert 1 \rangle\) i \( X \vert 1 \rangle = \vert 0 \rangle \). Koristeći se ovim dobijamo:
\begin{align}
&= -\dfrac{1}{2} \Big(\langle 0 1 \vert - \langle 1 0 \vert \Big) Z_{1} \Big( \vert 0 1 \rangle + \vert 1 0 \rangle \Big) \\ &= -\dfrac{1}{2} \Big(\langle 0 1 \vert - \langle 1 0 \vert \Big) \Big( -\vert 0 1 \rangle + \vert 1 0 \rangle \Big) \\ &= -\dfrac{1}{2} \Big( - \langle 0 1 \vert 01 \rangle + \langle 0 1 \vert 1 0 \rangle + \langle 1 0 \vert 01 \rangle - \langle 1 0 \vert 1 0\rangle \Big) \\ &= 1
\end{align}
Za član \( \langle \Psi \vert Z_{1} X_{2} \vert \Psi \rangle \) se moze pokazati da daje nulu. Stoga srednju vrednost observable \( QS \) jeste \( \langle QS \rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Možemo lako sračunati srednje vrednosti i za ostale observable. One su:
\begin{align}
\langle QS \rangle &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \\ \langle RS \rangle &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \\ \langle RT \rangle &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \\ \langle QT \rangle &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}.
\end{align}
To znači da:
\begin{equation}
\langle QS \rangle + \langle RS \rangle + \langle RT \rangle - \langle QT \rangle = 2 \sqrt{2}
\end{equation}
Bell-ova nejednakost posmatrano kvantno-mehanički zapravo se pretvara u jednakost i to za broj \( 2.82843\) (\( 2 \sqrt{2} = 2 \cdot 1.41421 = 2.82843 \)).
Zakljucak
Klasično gledajući dve čestice sa velikim rastojanje(gde je recimo Kulonova sila između njih zanemarljiva) između sebe ne mogu da deluju jedna na drugu. Stoga mereći osobine jedne ne bi trebalo da utiče na osobine druge. To dovodi do nejednakosti koju smo dokazali i demonstrirali. Šta nam to zapravo kvantna mehanika govori? Da da ipak čestice ili kvantno-mehanički objekti utici jedni na druge na tako velikim rastojanjima, i da to dovodi do jednakosti. Kako da zapravo odlučimo sta je fizička realnost?
Odgovor na ovo pitanje ipak nije metafizičke prirode, odgovor dobijamo ako izvršimo eksperiment! Fridman i Klauser kao i Alain Aspekt prema idejama Bell-a su to prvi učinili i doprineli konačnom obračunu sa skepticima kvantne teorije. Eksperiment nedvosmisleno ukazuju da postoji jednačina i daje nam rezultat \( 2\sqrt{2} \). što zapravo znači da zdravorazumski i intuitivni pristup mikrosposkom svetu nije nam dao tačne rezultate i predviđanja. Fizika i nauka XX veka sa dolaskom kvantne teorije donela nam je jedan ogroman iskorak u razumevanju prirode. Priroda se ne ponaša u skladu sa nasom intuicijom!
Za izuzetno interesantnu priču oko Bell-ove nejednakosti i događajima koji su prethodili njenom nastanku preporučujem knjigu 'Kako su hipici spasili fiziku'.
Reference i literatura
1.http://www.b92.net/zivot/nauka.php (U Petnici pušten Belov eksperiment 10.11.2014)
3. Michael A. Nielsen, Issac L. Chuang Quantum Computation and Quantum Information Cambridge University press 2010
6.http://www.livescience.com/28550-how-quantum-entanglement-works-infographic.html
Napomena
Ovaj tekst je napisan 01/2015, sad je repostovan i nanovo uređen na novom izdanju bloga. Tekst je nastao usled potrebe da se se studentu na UNSPMF-u dočara suština i moć Bell-ove nejednakosti.
Comments
Post a Comment